CALCUL DE  RACINES EN « J »

R. Coquidé

 

Racines d’un polynôme

(expression usuellement utilisée pour « solutions d’une équation polynomiale »)

Le langage J est pourvu d’un outil puissant pour calculer les racines d’un polynôme : le verbe  «  p. ». 

Il est possible de définir un polynôme par ses racines.

Par exemple le polynôme suivant défini par ses facteurs

3(x-1)(x-2)(x+1.5)(x-0.5)(x-1.2)

sera créé par

 

[pr =. 3;1 2 _1.5 0.5 1.2 NB. On peut remarquer le

                          NB. facteur 3 et la «mise en boîte »

                          NB. de la variable pr (pro-nom)

 

ÚÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³3³1 2 _1.5 0.5 1.2³

ÀÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

 

Avec le verbe « p. », calcul des coefficients du polynôme :

[pc =. p. prNB. A partir des racines

5.4 _19.8 19.05 1.95 _9.6 3 NB. Ici, pas de« boîte »

 Avec le même verbe  « p. » calcul des racines à partir des coefficients :

p. pc NB. rangées dans l’ordre des modules décroissants

 

ÚÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³3³2 _1.5 1.2 1 0.5³

ÀÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

 

Les racines complexes sont acceptées … et traitées…

[pr =. 2 ; 0j0.2 _1 0j_0.2 1j2 1j_2 2

 

ÚÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³2³0j0.2 _1 0j_0.2 1j2 1j_2 2³

ÀÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

  

[pc =. p. pr

_0.8 _0.08 _19.6 _2.24 10.08 _6 2

   p. pc

ÚÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³2³1j2 1j_2 2 _1 0j0.2 0j_0.2³

ÀÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

 

… les coefficients complexes aussi  

   [pr =. 2j_1 ; 1j0.1 _1 0j_0.2 1j2 1j_2 _2j_0.5

 

ÚÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³2j_1³1j0.1 _1 0j_0.2 1j2 1j_2 _2j_0.5³

ÀÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

  

[pc =. p. pr

_0.55j_4.6 _23.13j2.39 _0.57j5.01 22.25j_6.35 _1.16j_2.17

    0.6j1.2 2j_1

  

p. pc

ÚÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿

³2j_1³1j2 1j_2 _2j_0.5 1j0.1 _1j0 0j_0.2³

ÀÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ

 

Solution de f(x) = 0    où f(x) n’est pas polynomiale

(on suppose connu un intervalle [a , b] contenant  une solution et une seule : x).

Il est permis de s’inspirer de l’algorithme de NEWTON (ou de la tangente):

 x_n+1     = x_n – f(x_n)/f’(x_n)   qui  calcule x_n+1, approximation meilleure que x_n

NEWTON  =.  ]-([. % ].)                     NB. conjonction

Usage :         x_n+1  =.     (f  NEWTON   fp)   x_n

                x_n+k  =.  (  (f  NEWTON   fp)^ : k  )  x_n       

     Ici, on utilise la « puissance fonctionnelle » k ( entier positif ou nul ).       

 La suite récurrente (x_n)  converge (quand tout se passe bien !) vers x, racine de l’équation f(x) = 0 ; fp(x) est la dérivée de f(x)     

 

Exemple : pour résoudre   x  =  cos(x)   ou   f(x) = 0   avec f(x) = x – cos(x),

        écrivons :

 f   =.  –2&o.              NB. verbe représentant la fonction x-cos(x)

 fp  =.  1: + 1&o.          NB. verbe représentant sa dérivée première

                            Partons de x₀ = 1.5NB. Si nous utilisons

 

NB. x_n+1 = cos(x_n)

,. (2&o.)^:(i.20)  1.5

1.5     

0.070737201667703

0.997499167206586

0.542404992339220

0.856469708947328

0.655108801780784

0.792981645797353

0.701724168276573

0.763730311290859

0.722261082134520

0.750312885709986

0.731475558034674

0.744189586630583

0.735637098348715

0.741403372909269

0.737521554461599

0.740137474793432

0.738375854160239

0.739562726170268

0.738763336576956

etc…

 

Convergence lente

( d’ordre 1 )

 

 

NB. Si nous utilisons

NB. la conjonction NEWTON

,. (f  NEWTON  fp)^:(i.6)   1.5

1.5

0.784472397719411

0.739518709832052

0.739085174705196

0.739085133215161

0.739085133215161

Convergence beaucoup

plus rapide

( d’ordre 2 ).

 

 

On a défini et exécuté

P =. 9!:11

P   15

pour obtenir 15 chiffres affichés.

 

,. (f  NEWTON  fp)^:(_)    1.5

0.739085133215161

Utilisation de la « puissance

fonctionnelle  » infinie.

 

A suivre!