Structure des Nombres Réels bien Ordonnés

par F.Collot

 

Résumé

 

L’auteur utilise une application classique de l’ensemble des parties des entiers naturels N (noté P(N)) sur l’ensemble des nombres réels R. Il propose alors un procédé pour bien ordonner P(N) utilisant l’ordre lexicographique dont on sait qu’il ordonne totalement cet ensemble, ainsi que l’ordre inverse.

 

- Une première partition de l’ensemble est réalisée permettant de ranger dans une même classe (les clones) les parties commençant par le même premier entier.

 

- Une seconde partition est basée sur l’utilisation des entiers manquants à «l'intérieur» de chaque partie, entiers appelés «lacunes». Ceux-ci permettent d’introduire le concept de sous-ensemble de parties contenant un même nombre de lacunes, (sous-ensembles iso-lacunaires).

 

- Chaque sous-ensemble est constitué de suites infinies de parties bien ordonnées par l’ordre lexicographique. Ces suites sont elles-mêmes bien ordonnées en ordonnant leur premier terme selon l’ordre lexicographique inverse.

 

 

Pour obtenir un ensemble ayant la puissance du continu, apparaît alors la nécessité de considérer un sous-ensemble de parties à une infinité dénombrable de lacunes. La solution consiste à modifier l’ordre de N en faisant l’union ordonnée de plusieurs de ces sous-ensembles infinis, et à maintenir le même procédé.

*  *  *

 

Nous utiliserons l’application suivante de P(N) sur R :

 

D’abord, on associe à chaque partie p de N une suite pi = {an} (avec n ¦ 1) de nombres égaux à 1 ou 0, à savoir 1 si an appartient à p, ou  0 si an ne lui appartient pas. On obtient ainsi une suite finie ou infinie de 0 et de 1.

 

Puis on associe à chaque suite pi le nombre réel   Sn  an / 2n  écrit en binaire et compris dans l’intervalle réel [ 0,1 n ¦ 1 [                                       

 

Rappelons qu’un ensemble E est bien ordonné s’il est totalement ordonné, et si tout sous-ensemble non vide de E a un plus petit élément.

 

1.) UNE RELATION DE BON ORDRE SUR LES SS-ENS. n-LACUNAIRES

 

L’auteur propose, en premier lieu une relation  d’ordre sur P(N) qui permet de bien ordonner le sous-ensemble des parties finies et un sous-ensemble dénombrable de parties infinies, ce qui n’est, bien sûr, pas un exploit, mais va permettre d’éclairer le problème.

 

Nous représenterons les entiers naturels par les lettres d’un alphabet  infini : a, b, c, ...n ...(n étant un entier quelconque, ainsi qu’il est classique).

 

1.1.) Une Première Partition de P(N) consiste à considérer une première classe d’équivalence rassemblant toutes les parties qui ont comme premier élément le premier entier (désigné ici par la lettre a). Cette classe sera nommée «clone a». Une seconde classe rassemblera toutes les parties commençant par le second entier, et sera nommée clone b, etc... Il existe une infinité dénombrable de clones. La relation d’ordre proposée s’appliquera de la même façon à chacun d’entre eux. Nous ne considérerons ici que le clone a .

 

       Pour bien ordonner ce clone, l’idée essentielle est de s’intéresser dans chaque partie non seulement aux entiers qui y figurent, mais aussi aux entiers manquants entre le premier et le dernier de la partie (quand celui-ci existe !), et de les noter chacun par le symbole  O (appelé «lacune»). Ex. {1,3} est noté {a O c} le plus souvent sans accolade.

 

1.2.)  Une Deuxième Partition consiste, pour un même clone, à rassembler dans une même classe d’équivalence les parties possédant un même nombre de lacunes. Nous obtiendrons donc une suite de sous-ensemblesiso-lacunaires» présentant 0, 1, 2 ,...n...lacunes, appelés sous-ensembles 0-lacunaire, 1-lacunaire, 2-lacunaire, ...n-lacunaire, etc...

 

1.3.) Chaque Sous-Ensemble Iso-Lacunaire est constitué de suites de parties ayant leurs lacunes à des rangs identiques (parties «idem-lacunaires», c’est-à-dire possédant les mêmes entiers manquants), ordonnées par la relation d’ordre lexicographique notée L (intuitivement il siagit de l’ordre des mots d’un dictionnaire oØ chaque symbole ne pourrait occurer qu’une seule fois à l’intérieur d’un même mot ). C’est pour en faciliter la lecture que nous avons noté les entiers naturels par des lettres de l’alphabet.

 

1.3.1.) Le sous-ensemble 0-lacunaire

 

Ainsi la première suite du clone «a» sera :          a, ab, abc, ....abc...n, ...N

Cette suite est bien ordonnée par l’inclusion (et l’ordre lexicographique), comme toutes celles qui la suivent. Elle forme à elle seule, pour le clone a, le sous-ensemble 0-lacunaire dont le cardinal sera card.N.

 

Par ailleurs, l’ensemble N lui-même appartient à P(N). Sa place, comme élément maximal de cette première suite, est déterminée par l’ordre L.

 

1.3.2.) Le sous-ensemble 1-lacunaire

 

Le sous-ensemble suivant est le sous-ensemble 1-lacunaire, et comprend une infinité dénombrable de suites. Son cardinal sera  donc: card.N x card.N = card.N2. = card.N. Ces suites sont elles-mêmes bien ordonnées en ordonnant leur premier élément suivant l’ordre lexicographique inverse (noté L-1) :

 

a O c,          a O cd,          a O cde,...

ab O d,        ab O de,        ab O def, ...

abc O e,       abc O ef,       abc O efg, ...

 

En effet, l’ordre lexicographique direct L, après avoir bien ordonné le sous-ensemble 0-lacunaire qui ne possède qu’une seule suite de parties de N, ne permet plus d’obtenir aucun autre sous-ensemble iso-lacunaire bien ordonné, car alors ceux-ci n’ont pas de première suite. Par contre il existe constamment pour chacun d’entre eux une dernière suite. D’où la nécessité d’inverser l’ordre d’apparition des premiers termes de chaque suite en utilisant l’ordre L- 1.

 

Dès à présent, on voit que le cardinal d’un sous-ensemble n-lacunaire est égal au cardinal du sous-ensemble qui le précède multiplié par cardinal N, ce qui s’avèrera comme une règle générale.

 

1.3.3.) Le sous-ensemble 2-lacunaire

 

De même le sous-ensemble 2-lacunaire sera l’ensemble des suites de la forme:

 

a O O d,          a O O de,           a O O def,...

a O c O e,        a O c O ef,         a O c O efg,...  

a O c d O f,     a O cd O fg,       a O cd O fgh, ...

 

Ainsi, lorsqu’on passe d’une suite à la suivante, la seconde lacune fait un pas à droite, et va parcourir l’ensemble des entiers restants. Puis l’ordre lexicographique inverse fera apparaître un second «sous-sous-ensemble» 2-lacunaire :

 


ab O O e,            ab O O ef,            ab O O efg,...

ab O d O f,         ab O d O fg,         ab O d O fgh,...

ab O de O g,       ab O de O gh,       ab O de O ghi,...

...

 

Il est aisé de montrer que le cardinal de ce sous-ensemble 2-lacunaire est :

 

card.N  x  card.N2   =  card. N3  ( =  card.N).

 

Remarque 1

 

Le plus petit élément de chaque sous-ensemble n-lacunaire (de type a O O O ...n) doit être considéré comme l’élément générateur du sous-ensemble tout entier. L’engendrement se fait grâce aux deux relations d’ordre utilisées alternativement : l’ordre L-1 pour les premiers termes des suites, et  l’ordre L pour leurs successeurs à l’intérieur de chaque suite.

 

Remarque 2

 

Apparaît une propriété fondamentale relative à l’utilisation de l’ordre lexicographique inverse dans le classement des suites et des sous-sous-ensembles qu’elles constituent au sein d’un même sous-ensemble n-lacunaire : depuis son plus petit élément (écrit ici en remplaçant tout entier présent par un astérisque : (* O O O *), on observe un recul de droite à gauche du second entier présent.

 

Donnons un exemple. Pour le sous-ensemble 6-lacunaire, le recul du second entier présent prendra l’aspect suivant :

 

* O O O O O O    *                 ah}           

* O O O O O * O *               {agi}          

* O O O O * O O *               {afi}

* O O O * O O O *               {aei}

* O O * O O O O *               {adi}

* O * O O O O O *               {aci}

* * O O O O O O *               {abi}

 

Proposition

 

Tout sous-ensemble n-lacunaire a le cardinal dénombrable card. Nn+1 =  card. N.

 

Preuve par récurrence : la proposition est vraie pour n  =  0 et pour n  =  1. Supposons qu’elle soit vraie pour un sous-ensemble (n-1)-lacunaire* dont le cardinal serait card.Nn. Pour son successeur n-lacunaire, une lacune doit être ajoutée à chaque élément du premier. Si cette nouvelle lacune ne devait remplacer qu’un seul entier bien déterminé, le nouveau cardinal resterait identique. Mais cette nouvelle lacune doit remplacer une infinité de nombres entiers. Le nouveau cardinal doit donc être égal au précédent multiplié par le cardinal de N c’est-à-dire qu’il sera égal à card.Nn+1.

 

Alors, une telle relation permet de bien ordonner toutes les parties finies de N, et certaines parties infinies. Ces dernières représentent le segment initial non strict d’un ensemble isomorphe à N dont on aurait soustrait un nombre fini d’entiers. L’existence de telles parties est évidente et leur place ne peut être que celle d’un élément maximal de chacune des suites de l’ensemble des sous-ensembles n-lacunaires.

 

Cependant, il n’est pas possible d’expliciter un seul élément de P(N) qui ait une infinité de lacunes, puisque les entiers naturels sont tous finis et n’ont avant eux qu’un nombre fini d’entiers.

 

2.) LE SOUS-ENSEMBLE w-LACUNAIRE.

 

Ce qui, d’après notre analyse, «manque» à l’ensemble N c’est la présence d’entiers survenant «après» une infinité d’autres entiers, et, d’autre part, la possibilité  pour  les  premiers d’avoir des prédécesseurs immédiats, afin d’assurer un recul indéfini du 2ème entier présent à partir du plus petit élément du sous-ensemble. Il semble alors possible de modifier l’ordre naturel de N, en faisant l’union ordonnée de plusieurs de ses sous-ensembles infinis (par exemple les nombres premiers sauf 2 en ordre décroissant, puis les nombres impairs moins les précédents en ordre décroissant, enfin les nombres pairs sauf 2 en ordre croissant) de telle sorte que N soit reconstitué dans son intégralité. Le type d’ordre de ce nouvel ensemble Ni est :  1 + *w + *w  +w (où w désigne le type d’ordre des entiers naturels, et *w le type d’ordre inverse) :

 

Ni  =   {2, 5,11, ...,13, 7, 3, ..., 15, 9, 1, 0, 4, 6, 8,...} (1)

 

Il est clair alors que les parties de Ni utilisant le nombre 2 puis les entiers impairs non premiers, ou les entiers pairs, auront une infinité de lacunes correspondant aux nombres premiers (sauf 2).

 

En vue de faciliter la lecture de Ni, nous emprunterons la notation (mais seulement la notation) utilisée en analyse non standard où la lettre N désignera arbitrairement le 0 de (1) . De plus chaque élément sera représenté par référence à N. On a :

 

Ni  =  {a, c, e, ...  f, d, b,...N-3, N-2, N-1, N, N+1, N+2, N+3, ...N+n, ...}  (3)

 

* la démonstration classique utilise les termes n et n+1. La nôtre utilise n-1 et n parce que plus simple ici.    

 

Ayant obtenu un bon ordre sur les sous-ensembles n-lacunaires, à partir de N bien ordonné, nous réserverons Ni au traitement du seul sous-ensemble w-lacunaire.

 

2.1.) Le sous-ensemble w-lacunaire du clone «a» avec un N donné  (ens.G)     

 

Soit  «G» le sous-ensemble w-lacunaire du clone «a» avec un N donné.

 

Dans ces conditions, le plus petit élément de ce sous-ensemble du clone a s’écrira :

 

       {a  ÑO  N} où  «ÑO» désigne l’infinité de lacunes séparant a de N

 

2.1.1.) Les sous-sous-ensembles n-post-w-lacunaires de G

 

Le sous-sous-ensemble 0-post -w-lacunaire

 

La première suite :

 

 { a ÑO N}, {a ÑO N, N+1}, {a ÑO N, N+1, N+2}...  (1)    

 

Cette première suite sera bien ordonnée par l’ordre L.

 

Il existe un isomorphisme entre cette première suite et l’unique suite du sous-ensemble 0-lacunaire :

 

                 a                         a b                            a b c

 

Le cardinal de chacun de ces deux sous-ensembles sera : card.N.

 

Les suites vont se succéder de la même façon que les suites des ensembles n-lacunaires i-e en ordonnant leur premier élément dans l’ordre lexicographique inverse L-1. Dans chaque suite, les éléments sont ordonnés par l’ordre L, i-e par l’inclusion.

 

Le sous-sous-ensembles 1-post-w-lacunaire ..

 

Après la première suite (1) ci-dessus, viennent des sous-sous-ensembles de parties de Ni dans lesquelles vont apparaître une ou plusieurs lacunes après un ou plusieurs entiers impairs non premiers. Ces parties seront appelées «n-post-w-lacunaires» (avec n = 1,2,3,...). En écrivant seulement le premier terme de chaque suite, nous aurons :

 

{a ÑO  N-1    O    N+1} ...

{a ÑO  N-1    N       O      N+2} ...

{a ÑO  N-1    N    N+1        O     N+3}...

 

Il existe là aussi un isomorphisme avec le sous-ensemble 1-lacunaire :

 

                 a O c

                 a b O d

                 a b c O e             

 

Le cardinal de ces deux sous-ensembles sera : card.N2.

 

Le sous-sous-ensemble 2-post-w-lacunaire

 

Puis l’ordre L-1 fera apparaître un sous-sous-ensemble 2-post-w-lacunaire :

 

{a ÑO  N-2    O     O     N+1} ...

{a ÑO  N-2    O     N        O       N+2} ...

{a ÑO  N-2    O     N     N+1         O       N+3} ..

...

 

Nous aurons ensuite un nouveau sous-sous-ensemble :

 

{a ÑO  N-2    N-1     O        O        N+2}...

{a ÑO  N-2    N-1     O      N+1         O       N+3} ...

{a ÑO  N-2    N-1     O      N+1      N+2         O      N+4} ...

...

 

Puis :

 

{a ÑO  N-2    N-1     N        O           O         N+3} ...

{a ÑO  N-2    N-1     N        O         N+2          O        N+4} ...

{a ÑO  N-2    N-1     N        O         N+2       N+3          O      N+5} ...

...

 

Il existe un isomorphisme entre ce sous-ensemble et le sous-ensemble 2-lacunaire :

 

                 a O O d

                 a O c O e

                 a O c d O f

                 ..

                 a b O O e

                 a b O d O f

                 a b O d e O g       

                 ...

                 a b c O O f

                 a b c O e O g

                 a b c O e f O h

                 ...

 

Le cardinal de ces deux sous-ensembles sera : card. N3. Et ainsi de suite.

 

Ainsi, à chaque sous-ensemble n-lacunaire correspond un sous-sous-ensemble n-post-w-lacunaire, ce qui pourrait faire croire que le sous-ensemble w-lacunaire G reste aussi dénombrable. Mais nous allons voir que ce n’est pas possible.

 

2.1.2 ) Le sous-ensemble w-post-w-lacunaire de G

 

Il existe donc un isomorphisme évident entre chaque sous-ensemble n-lacunaire et le sous-sous-ensemble n-post-w-lacunaire correspondant. Mais il n’existe pas d’isomorphisme entre l’ensemble w-lacunaire G et l’ensemble de tous les sous-ensembles n-lacunaires. En effet il est possible d’expliciter un sous-ensemble de G qui ne puisse pas être mis en correspondance biunivoque avec un sous-ensemble n-lacunaire quelconque : c’est le sous-ensemble w-post-w-lacunaire (qui est atteint, dans Ni lorsque le 2ème entier présent a reculé jusqu’à l’entier 3) et dont le plus petit élément est : {a ÑO,  N-w,  ÑO   N+1}.

 

Dans Ni, cet élément s’écrira  : {2, ÑO,  3, ÑO,   4 } correspondant au réel 0,1000...1000...1 (distinct de {2,3,4}ou {bcd} dans N et correspondant au rationnel : 0,0111).

 

Ainsi, G n’est plus dénombrable (ce procédé est identiqueàcelui de la diagonale de Cantor). De plus G est bien ordonné. Or, la suite des cardinaux des sous-ensembles n-post-w-lacunaires qui précèdent immédiatement cet élément est identique à celle des sous-ensembles n-lacunaires : N,N2,N3,... Nn ...

 

Le cardinal de G doit donc être le successeur immédiat de cette suite. Ce ne peut être que card. Ncard.N, c’est-à-dire le cardinal du Continu.

 

Justification d’un bon ordre sur P(N)

 

Il suffit d’appliquer le théorème de Fraenkel : «un ensemble est bien ordonné si et seulement s’il n’a aucun sous-ensemble de type *w ».

 

Remarque

 

Pour faire apparaître des irrationnels «attendus» c’est-à-dire où les1 (sauf le premier) puissent occurer avant l’infinité de lacunes (des 0) requise par notre procédé pour accéder à ces nombres, il a été nécessaire de faire suivre le premier entier de chaque partie (celui qui désigne le clone) d’une infinité de nombres premiers : 5, 11, 17, 23, etc ...choisis un sur deux dans l’ensemble des nombres premiers. Mais ce faisant, une «coupure» s’installe entre les deux sous-ensembles de nombres premiers, celui de gauche étant rangé par ordre croissant, celui de droite par ordre décroissant. Cette coupure ne permet plus d’obtenir pour le premier sous-ensemble (celui de gauche) de plus petit élément, et donc de bon ordre. C’est pourquoi il est nécessaire d’étendre le concept de «clone», (réservé jusqu’alors à l’ensemble des entiers naturels : a, b, c ,...) à l’ensemble des éléments n-lacunaires de P(N). C’est ainsi qu’il faudra considérer outre les clones a, b, c, etc, ...  des clones, tels que ab, abc, abcd,...a O c, a O cd, a OOd, etc,... Ceux-ci permettront d’écrire des irrationnels commençant par exemple par : 0, 01010011000... (correspondant au clone : {b O d OO gh).

 

Conclusion

 

Ainsi, chaque clone de l’ensemble P(N) et pour un N donné, apparaît, une fois bien ordonné, comme constitué :

 

1) par un segment initial dénombrable de sous-ensemble n-lacunaires qui correspond aux rationnels.

 

2) par un segment «moyen» de sous-ensembles n-post-w-lacunaires qui correspond (si l’on considère isolément le sous-ensemble w-lacunaire) à un segment initial dénombrable d’irrationnels.

 

3) par un segment terminal non dénombrable et ayant la puissance du continu correspondant à la majeure partie des irrationnels.

 

L’intérêt pratique (et notamment en informatique) de ce bon ordre serait de ce qu’entre deux réels (et notamment irrationnels) dont le second est le successeur immédiat du premier, il n’existe aucun nombre réel, et qu’en conséquence, les réels et plus particulièrement les irrationnels peuvent être traités comme des nombres entiers. Ainsi, dans cet ordre (qui n’a rien à voir avec l’ordre habituel par grandeur), l’élément w-lacunaire {a,ÑO, N} est l’élément qui précède immédiatement l’élément {a, ÑO, N, N+1}. L’élément 1-lacunaire {a O c} qui correspond au rationnel  0, 101 est le prédécesseur immédiat de {a O cd} qui correspond à 0,1011.

 

Par ailleurs, mais cela n’est pas négligeable, les sous-ensembles de P(N) sont de deux sortes seulement :

 

-  ou bien ils sont dénombrables comme les sous-ensembles n-lacunaires, ou les sous-sous-ensembles n-post-w-lacunaires qui forment le segment initial des ensembles w-lacunaires G,

 

-  ou ils ont la puissance du continu. Ce sont les ensembles G.

 

Il en découle que l’Hypothèse du Continu est vraie, quoique restant indécidable dans le système formel de la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel (+ l’axiome du choix).

 

Correspondance entre P(N) et R bien ordonnés

 

P(N)               Rationnels        P(N) (ens. w-lac.)                    Irrationnels

 

Clone a

a               0,1              a,ÑO, N                                  0,1000...1

a O c        0,101           a,ÑO, N-1 O N+1                    0,1000...101

a OO d     0,1001         a,ÑO, N-2 OO , N+1               0,1000...1001

...              ...                                   ...

                                   a,ÑO, N-w, ÑO, N+1              0,1000...1000...1

                                   a,ÑO, N-w, ÑO, N-1 O N+1    0,1000...1000...101

                           

 

Clone ab

ab             0,11            ab, ÑO, N                               0,11000...1

ab 0 d       0,1101         ab, ÑO, N-1 O N+1                0,11000...101

...              ...                ... 

                                   ab, ÑO, N-w, ÑO, N+1           0,11000...1000...1                         

Clone abc

abc           0,111           abc, ÑO, N                              0,111000...1

abc O e     0,11101       abc, ÑO, N-1 O N+1               0,111000...101

...              ...                abc, ÑO, N-w, ÑO, N+1         0,111000...1000...1

...

                                                               

Clone aOc

a O c          0,101          a O c, ÑO, N                          0,101000...1

a O c O e   0,10101       a O c, ÑO, N-1 O N+1            0,101000...101

   ...                ...                                   ...

                                    a O c, ÑO, N-w, ÑO, N+1       0,101000...1000...1

...

 

Clone b

b                0,01             b, ÑO, N                                 0,01000...1

b O d         0,0101          b O d, ÑO, N                          0,0101000...1

...              ...                                  ...                                            ...

                                      b O d, ÑO, N-w, ÑO, N+1      0,0101000...1000...1                                  

 

Bibliographie

 

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ANNEXE :  Relation de bon ordre sur P(N)

 

1.1.) Relation de bon ordre sur les sous-ensembles n-lacunaires

 

Soit à comparer deux éléments n-lacunaires  A et B tels que A soit n-lacunaire et B n’-lacunaire :

 

1)   si n = n’

 

·     -  où les lacunes sont des entiers manquants de même rang, (A et B appartiennent à la même suite) alors A « B si et seulement si        A « B selon l’ordre Lexicographique L (avec « pour “est le prédécesseur de”).

 

·     -  ou bien il s’agit d’entiers de rangs différents, alors A < B si et seulement si A < B selon l’ordre Lexicographique inverse L-1.

 

2)   si n ¹ n’

 

         -   alors A « B si et seulement si  n « n’ (avec « pour “est inférieur à”).

 

1.2.) Relation de bon ordre sur le sous-ensemble w-lacunaire G (appartenant au clone “a” et avec un N donné).

 

La relation se simplifie du fait qu’il s’agit d’un même sous-ensemble dont les éléments contiennent un même nombre (w) de           lacunes. Soit A et B deux sous-ensembles w-lacunaires distincts de G (i-e deux parties de N appartenant à G).

 

·     -  Si A et B ont  les mêmes entiers manquants (ils appartiennent à une même suite),

 

       alors A « B  ssi  A « B selon l’ordre L (avec « pour : “est le prédécesseur de”).

 

·     -  Sinon, alors A « B si et seulement si  A « B selon  L-1.