Intégration
de Parité, Milieux Excitables et Neuro-calcul
par
Michael Zaus
Université d'Oldenburg
Institut des Sciences
Cognitives (Inst. für Kognitionsforschung)
D-26111 Oldenburg
Résumé
Cet article présente une introduction en douceur
de l'intégration de parité et de son impact sur des modèles de traitement de
l'information dans les milieux excitables. Au lieu d'en réduire le contenu dans
ce résumé, nous préférons attirer l'attention du lecteur sur la subtilité de la
parité - le concept permettant de distinguer le pair de l'impair - au moyen de
l'anecdote suivante**:
“Il y avait une fois une petite fille qui
s'appelait Emma. Emma n'avait jamais mangé de bananes et n'avait jamais pris le
train. Un jour, elle dut voyager en train depuis New York jusqu'à Pittsburgh.
Pour apaiser l'angoisse d'Emma, sa mère lui donna un grand sac de bananes.
Lorqu'Emma croqua son premier morceau de banane, le train s'engouffra dans un
tunnel. Au second morceau, le train ressortit du tunnel au grand jour. Au
troisième morceau, Pfuit ! le train entra encore dans un tunnel; au quatrième,
Ouf ! il retrouva la lumière à nouveau. Et il en fut ainsi sur tout le
parcours jusqu'à Pittsburgh. Emma, petite fille à l'esprit vif, raconta à son
grand-père qui l'attendait à la gare : <<Chaque morceau impair de banane
vous rend aveugle; chaque morceau pair remet les choses en ordre.>>”
Très bien; alors, les parités n'expliquent
pas le monde..., l'analogie psycho-physique de la petite Emma mise à part.
Raisonner avec des parités est quelque chose d'assez délicat, et le lecteur va
devoir prendre le bit au sérieux
dans ce qui suit. Cela exige de penser un peu plus aux bits comme des unités de calcul, et comme des entités qui
représentent les états les plus élémentaires d'un milieu excitable. Comment ces
états élémentaires interagissent au niveau quantique de l'information constitue
le thème central de cet article.
1 Introduction
Le but de cet article est d'introduire le
concept de l'intégration de parité et sa signification pour modéliser des
milieux excitables ainsi que le traitement de l'information neuronale.
L'approche méthodologique est basée sur la compression algorithmique et la
logique de la parité[1],
mais au lieu d'élaborer un formalisme ennuyeux, nous allons traiter le sujet en
terme de machines à rétro-action pour des processus itératifs dans lesquels
l'entrée se compose de séquences binaires représentant des vecteurs d'état, et
la sortie représente des intégrales vectorielles de parité qui, à leur tour,
sont utilisées pour l'intégration suivante. La dimension ou longueur de la
séquence d'entrée détermine le nombre d'itérations, par lesquelles le processus
cyclique fait évoluer un enregistrement temporel du vecteur d'état, et,
simultanément, un nombre considérable de propriétés spécifiques, pour analyser
des ondes périodiques et localisées d'information propagée. De cette manière,
l'intégration de parité deviendra familière au lecteur, ainsi que ce qu'elle
signifie et ce pourquoi elle peut acquérir une certaine importance en
neuroscience cognitive et en d'autres disciplines sur le plan du calcul.
La Section 2 prépare le lecteur au thème des
machines à rétro-action et sur leur extension en machines à rétro-action de parité. Le concept d'intégration de
parité est défini à proprement parler au début de la Section 3, tandis que le
reste de cette Section est consacré à un traitement détaillé des machines à
rétro-action de parité. On montre que leurs algorithmes sous-jacents produisent
essentiellement trois modèles génériques, appelés le géniton, le pariton et le
fanion, qui ont la faculté de simuler
l'évolution de la formation de structures dans des milieux excitables dans une
grande variété de domaines (Langlet 1991, 1994a, 1994b, Zaus 1994a,b, 1995a).
La Section 4 démontre que l'intégration de parité peut servir à modéliser des
processus catalytiques, car les règles de la catalyse concernant les états
actif et passif des catalyseurs correspondent précisément aux règles des
processus d'intégration de parité. Finalement, dans la Section 5, un second
domaine d'application apparaît, avec des réseaux triangulaires de couplage avec
les plus proches voisins, des pavages hexagonaux, et des transformations
trigonales au lieu des transformations orthogonales pour l'information comprimée
du signal. D'autres domaines d'application, en particulier la recherche de
contours hamiltoniensNdlR par intégration de parité, ainsi que des
algorithmes auto-génétiques, sont prévus dans un article en préparation sur les
optimiseurs à évolution génétique
("evolutionary genetic optimizers")
(Zaus 1995b).
2 Les Machines à Rétro-action
Commençons par quelques notions
indispensables pour comprendre les machines à rétro-action. La Figure 2.1
représente une machine à rétro-action standard à un seul pas, telle qu'elle est
utilisée dans des processus itératifs pour engendrer des fractals[2].
L'unité de traitement contient une formule d'itération
xn+1„f(xn), dans laquelle le symbole „
désigne l'affectation, tandis que f(x) se rapporte à la valeur d'une fonction
linéaire ou non linéaire. La machine a besoin en entrée d'un scalaire
xn et fournit comme résultat
un nouveau scalaire xn+1,
c'est-à-dire le résultat de la fonction f
en question. En général, la formule à l'intérieur de l'unité de traitement peut
être contrôlée par des paramètres supplémentaires fixes, mais, dans tous les
cas, la sortie ne dépend que de l'entrée. Pour garder trace de l'évolution du
temps, les résultats respectifs sont indicés. Comme il est bien connu à partir
de la littérature sur le chaos et les fractals, cette machine à rétro-action
possède un éventail étonnamment grand d'applications, car elle est en même
temps la brique de base pour construire des machines plus sophistiquées.
Remarquer la ligne de rétroaction vers la gauche sur la Figure 2.1. Elle
indique que, pour toute itération, la sortie xn+1 sera l'entrée xn
de l'itération suivante, jusqu'à ce que le processus se termine à l'aide d'un
critère soumis à une unité de contrôle.
|
Fig. 2.1
Machine à Rétro-action à un seul pas
Considérons maintenant la figure 2.2.
Si nous remplaçons la formule xn+1„f(xn) dans l'unité de traitement par l'expression Booléenne Bn+1„¬\(Bn), nous obtenons ce qui va s'appeler une Machine à Rétroaction de Parité. Ici, à la place d'un scalaire, Bn correspond à un vecteur binaire de longueur ou dimension finie. L'exécution de cette formule Bn+1„¬\(Bn) engendre l'intégrale de parité Bn+1 du vecteur binaire Bn. L'opérateur ¬\ n'est rien d'autre que la généralisation du cumul de XOR, c'est-à-dire l'intégration par addition modulo 2 en algèbre binaire, comme indiqué dans la boîte centrale de la Figure 2.2. Alors, quel est le message de la Figure 2.2 ?
|
Fig. 2.2
Machine à Rétro-action de Parité
Allons plus loin. Dans le langage courant, nous
utilisons le mot parité pour distinguer le pair de l'impair. Les choses sont soit paires soit impaires. Cette relation du Ou exclusif
est capturée par le symbole
¬
qui, à son tour représente la fonction XOR. Deux
entités impaires ont pour parité 1, tandis que deux entités paires ont pour
parité 0. Si ces entités peuvent seulement se trouver dans deux états
mutuellement exclusifs comme "mâle ou femelle", "spin up ou spin
down", "actif ou passif", "dominant ou récessif",
"excité ou inhibé", "en marche ou à l'arrêt", ce que nous
considérons correspond essentiellement à des phénomènes contravalents.
Supposons maintenant qu'un milieu excitable
se compose de seulement quatre cellules adjacentes telles que «ŒŒŒŒ», et que nous représentions un état dominant par 1 ainsi qu'un état récessif par 0. Alors la séquence 1
0 0 0 représente une configuration de milieu excité avec un état de tête dominant, et trois autres états récessifs. En supposant que la dominance
se propage dans un milieu excitable, à quelle sorte de configuration
devrions-nous nous attendre à l'étape de temps discret suivante ? Eh bien, naturellement, à la configuration
1 1 1 1 car chaque état récessif se trouve inversé par l'état dominant, dans une
propagation comme une onde, modélisée par [¬\(1 0 0 0)]
(1 1 1 1) Ceci revient à dire que
seules les différences symétriques entre états élémentaires d'un milieu
excitable sont propagées d'une manière asymétrique, et c'est précisément l'effet
de l'opérateur
¬\ sur son argument 1 0 0 0. La transition de
la configuration 1 0 0 0 vers la configuration 1 1 1 1 correspond juste à une
itération dans la machine à rétro-action de parité. Ainsi, c'est un état
intermédiaire, une onde localisée - un soliton en termes de physique - et un
changement dynamique d'état dans le milieu excitable, en termes de biologie.
Pour donner un autre exemple, supposons
maintenant qu'un milieu excitable soit modélisé par un tableau de récepteurs
adjacents avec une topologie unique, et que ces récepteurs soient excitables
dans des états "En marche" ("On") ou "A l'arrêt"
("Off"). Alors, par le même quantum d'action, "l'influx
nerveux" consiste en une propagation asymétrique de différences symétriques
entre des états "On" et des états "Off", ce par quoi on
s'attend à la formation d'une structure émergeant dans le milieu excitable, due
à la propagation d'onde sous-jacente. Selon la structure du signal excitateur,
cette propagation d'onde induit un motif auto-organisé capable de diagnostic,
comme on le montrera dans la Section 5. En général, cette approche peut être
étendue à de "longues" séquences d'états élémentaires, ainsi, en
outre, qu'à de "grands" tableaux d'états élémentaires dans les
milieux excitables, et finalement à des hyper-tableaux dont les éléments sont
empilés les uns sur les autres d'une manière hiérarchique, c'est-à-dire en de
nombreuses structures discotiques, en couches.
L'idée fondamentale d'utiliser l'opérateur
¬\ pour modéliser le flux
d'information dans les milieux excitables doit être devenue maintenant plus
claire. Dans de tels modèles, cet opérateur simuleNdT le mécanisme d'excitation, d'infection ou
d'influence en engendrant des fronts d'onde qui organisent leur systèmes
porteurs sous-jacents par auto-organisation en des motifs imbriqués, supports
d'information. Le choix des machines à rétro-action de parité sert aussi à
unifier la vaste classe de modèles introduits par Langlet (1991, 1992, 1994).
Nous nous réfèrerons explicitement aux contributions de Langlet dans les Sections
suivantes, pour fournir au lecteur de l'information fondamentale.
Dans ce qui suit, nous recommandons au
lecteur d'acquérir une familiarité suffisante avec l'opérateur
¬\ soit en utilisant simplement un
papier et un crayon, soit en expérimentant et en explorant de manière
interactive, à l'aide d'un ordinateur. Du fait que la plupart des langages de
programmation ne proposent pas directement des opérateurs d'extension
généralisée ou de balayage, nous ouvrirons la section 3 en définissant
¬\ de deux manières correspondant, respectivement, à l'algèbre de
Boole et à l'algèbre modulo 2.
3 Les Machines à Rétro-action de Parité
Savoir que l'opérateur
¬\
propage des différences symétriques d'une manière asymétrique est essentiel pour
comprendre son effet général. Nous en présentons maintenant la définition
mathématique. Les entités sur lesquelles agissent les opérateurs sont appelées
formellement des opérandes. Un opérateur prend une fonction et la convertit en
quelque chose de différent, appelé une fonction dérivéeNdT. L'expression
¬\
est ainsi une
fonction dérivée où
¬
est la fonction diadique Ou exclusif, tandis que la rétrobarre
\ symbolise un opérateur d'expansion monadique. Son opérande, la fonction XOR
notée
¬ est alors appliquée à des k-tuples
qui s'accroissent, dans les composantes de B
avec k
Î {2, 3, ... , l} . Ainsi, si B est le
vecteur binaire de dimension l (b1,b2, ... , bl), alors,
¬\B est définissable par:
R„[¬\B] Rº[b1,(b1¬b2),(b1¬b2¬b3), ... (b1¬b2¬ ...
¬bl)], (1)
où R
est le résultat de l'opérateur,
l'intégrale vectorielle de parité de B.[3] Ceci ne suffit pas toutefois à achever la
définition de
¬\ . Dans ce but, nous
avons besoin de l'opérateur dual
=\ appelé "balayage par l'égalité". Il fonctionne
exactement comme celui de la définition (1) sauf qu'il applique des égalités au
lieu de différences. Comme les duaux sont au cœur des lois de de Morgan, nous pouvons définir
¬\B selon:
_
¬\B
º=\B, (2)
où
les barres horizontales supérieures (variables ou
expressions surlignées) symbolisent le complément
booléen. Par exemple,
supposons que B soit le vecteur
1 1 0 1.
Alors B est le vecteur 0 0 1 0.
Ensuite, l'évaluation de
=\B met en jeu la séquence:
0,(0=0),(0=0=1),(0=0=1=0), ce
qui produit le
vecteur 0 1 1 0, et finalement,
_
=\B produit l'intégrale de parité 1 0 0 1
c'est-à-dire
¬\B. Une autre manière de définir
¬\B consiste à prendre le résidu à 0 de B modulo 2 par sommation partielle de B, cette dernière étant symbolisée par +\B. De cette manière,
l'opérateur est défini par:
¬\B
º 2|0+\B, (3)
qui est l'équivalent
cumulé de l'addition mod. 2 en algèbre binaire. En bref, si B est, comme auparavant, par
exemple 1 1 0 1, alors sa somme cumulée
est [+\B] soit 1 2 2 3, tandis que la
somme cumulée modulo 2 est 1 0 0 1, c'est-à-dire l'intégrale de parité
¬\B , respectivement. Ceci termine nos
définitions en ce qui concerne l'opérateur
¬\. Remarquez que nous n'avons pas besoin de la
définition (3) pour les Machines à Rétro-action de Parité, parce que la
définition (2) contient la compression
algorithmique de la définition (3). Ceci signifie que
¬\
est un opérateur non-gödélien : il ne met en jeu ni pilonnage numériqueNdT ni sommations partielles ni indécidabilité ni
irréversibilité ni perte d'information. C'est un opérateur logique réversible,
car il n'est basé que sur les fonctions logiquement réversibles non et égale.
Une fois de plus, il résulte de la définition
(1) que le vecteur R, produit par
l'expression
R„¬\B est fabriqué par
des parités accumulées, ce qui forme ainsi l'intégrale de parité de B.
C'est précisément la raison pour laquelle cet
opérateur est appelé intégration de
parité, et, ainsi, constitue en soi un algorithme
pour la modélisation des milieux excitables avec des machines à rétro-action de
parité, où B, l'entrée initiale,
représente un vecteur d'état particulier B=« b1 b2 b3 . . . bl
» d'un milieu excitable
E = «
1
2
3
. . .
l »
considéré, où
i représente une cellule excitable en états
"On" et "Off", par exemple.
Il existe un aspect plus formel que l'on devrait
expliciter avant de continuer, à savoir trois propriétés importantes de la
fonction Ou exclusif
¬, et une de l'opérateur
¬\
Ces propriétés sont définies pour tout
bi, bj, bk, bl,
B avec i ñ j ñ k ñ l comme suit :
(bi¬bj)
ð (bj¬bi)
(4)
(bi¬(bj¬bk))
ð ((bi¬bj)¬bk) (5)
L'expression (4) définit la commutativité ou
propriété de symétrie de
¬, tandis que l'expression (5) définit sa propriété
d'associativité. Ensemble, ces propriétés impliquent :
[(bi¬bj)¬(bk¬bl)) ð ((bi¬bk)
¬ (bj¬bl)]
(6)
c'est-à-dire la propriété de bisymétrie de
¬. Ceci signifie que la fontion Ou exclusif
¬ préserve l'entropie. Cette importante
propriété est elle-même préservée dans l'opérateur
¬\ qui, néanmoins,
est asymétrique, fait qui résulte
immédiatement de l'inégalité:
[¬\1 0] ñ [¬\0
1], (7)
parce que le résultat de l'expression de
gauche dans (7) est (1 1), tandis que celui de l'expression de droite est à
nouveau (0 1). Par exemple, si
l'expression (7) est traduite en états
mendéliens tels que la dominance
soit représentée par "1", et l'état de récessivité par "0", alors le vecteur d'état (1 0) sera
changé en (1 1) (la dominance est
propagée), tandis que le vecteur d'état (0 1) demeurera inchangé.
L'inégalité (7) prouve que l'opérateur
¬\ propage asymétriquement des différences
symétriques, ce qui, à son tour, est une condition nécessaire pour modéliser
des fronts d'ondes qui se propagent,
avec formation de structures émergentes. Nous sommes maintenant prêts pour des Machines à Rétro-action de Parité pour
lesquelles nous utiliserons l'abréviation MRPNdT.
Puisque leur principe de base est déjà connu
depuis la Section 2, nous illustrerons une MRP tout au long de cet article dans
le même style que sur la Figure 2.2. Dans le reste de cette Section, nous
montrons qu'une MRP est en réalité un automate cellulaire au sens de Wolfram
(1994), et que des modifications mineures de son entrée ou de son algorithme
sous-jacent conduisent à un nombre de noyaux de traitement d'information
uniques quoique fortement reliés entre eux, noyaux dont les propriétés vont
contribuer à l'analyse de la propagation du signal dans les milieux excitables
(Langlet 1991, 1993, 1994 ; Zaus 1994a,b, 1995). Pour fournir suffisamment de
bases pour les Sections 4 et 5, nous restreindrons d'abord notre attention aux
types les plus importants de vecteurs d'entrée, puis nous décrirons les sorties
correspondantes de la MRP. Ceci inclut essentiellement trois modèles caractéristiques
: Le Géniton pour expliquer les
aspects fondamentaux des MRP, puis sa généralisation au Pariton comme modèle principal de la Section 4, et finalement le Fanion, une structure calculatoire qui
apparaît à l'intérieur du Pariton, avec
des conséquences significatives pour la modélisation du traitement rétinien de
l'information, comme on le verra dans la Section 5. Maintenant, pour l'entrée
d'une MRP, nous devons spécifier au moins trois types de vecteurs binaires.
Le premier
type le plus primitif s'appelle une séquence
primordiale. Il s'agit d'un vecteur binaire de longueur l avec un bit de tête valant 1 et l-1 bits suivants valant 0. Pour les
séquences primordiales, nous utilisons la notation
l†1. Par exemple, le vecteur 2†1
1 0 s'appelle la séquence élémentaire, alors que
le vecteur 4†1
1 0 0 0 se rapporte à une séquence primordiale d'ordre 4. Dans
ce qui suit, la longueur d'un vecteur binaire sera toujours une puissance de 2;
on ne considèrera donc que des séquences de longueur 2, 4, 8, 16, 32, ... :
cette restriction force une MRP à n'engendrer que des tableaux binaires carrés
c'est-à-dire des matrices de parité
l×l. Une modification mineure de l'algorithme
permet, en outre, d'engendrer des matrices de parité triangulaires.
Le second
type de vecteurs d'entrée concerne des séquences
binaires de longueur l qui codent
des mots, des signaux ou des images. Ces vecteurs sont utilisés pour engendrer
des topologies discrètes d'évolution temporelle d'un signal, ou pour engendrer
des noyaux spéciaux traitant l'information, avec un grand nombre de capacités
de diagnostic pour l'analyse du signal et les transformations du signal
comprimé.
Le troisième
type de vecteurs d'entrée concerne des vecteurs binaires pseudo-aléatoires de
longueur l. Leur intégration de
parité itérée révèle des structures apériodiques et apparemment chaotiques,
toutefois avec des états futurs prévisibles, et des résultats intéressants du
point de vue des systèmes fractals et chaotiques.
Un aspect très important à propos de ces
vecteurs d'entrée est que leur intégration de parité itérée reproduit un front
d'onde se déplaçant de gauche à droite ou de haut en bas, ou des bords vers le
centre, par rapport à un certain milieu excitable. Il est alors instructif de
penser en termes de structures cellulaires - comme celles ci-après - dont les
éléments s'excitent (ou s'infectent) par déplacement du front d'onde, ce qui
crée une topologie discrète d'éléments excités qui dépend de la structure du vecteur
d'entrée.
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Œ
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Topologie Rectangulaire |
Topologie Trigonale |
Topologie Hexagonale |
Ainsi, le front d'onde propagé se meut au dessus
d'un quelconque milieu spécifique excitable dont l'existence est posée comme
réelle en principe, mais qui ne sera pas montré explicitement, car le processus
itératif transforme implicitement la structure émergente du milieu. Il
"remplit" de structure les topologies "vides" ci-dessus,
d'une manière analogue à celle dont un champ de récepteurs s'organise en
structure excitée, par propagation d'une onde lumineuse.
Au vu des types ci-dessus de vecteurs
d'entrée et de leurs caractéristiques, nous obtenons corrélativement
différentes sorties de la MRP; alors, commençons par la séquence élémentaire
« 1 0
». Selon la Figure 3.1, la MRP correspondante
engendre dans ce cas une matrice de
parité 2×2 (Fig. 3.1.1) qui a été baptisée le pariton génétique, ou géniton
en abrégé (Langlet 1991, 1994). Son nom est basé sur la nature générique de
cette matrice de parité, car elle peut servir de brique de base pour des
modèles en mathématiques, physique, chimie, génétique, neurobiologie,
psychologie et informatique (Langlet 1992, 1994, Zaus 1994a,b)
|
Figure 3.1
Le Géniton
Les caractéristiques du géniton s'expliquent
en décortiquant la Figure 3.1 en sous-figures, de la Fig. 3.1.1 à la Fig. 3.1.6
comme suit:
1. Il est évident, à partir de la Fig. 3.1.1 que
le géniton est une matrice symétrique, c'est-à-dire G = GT, si T symbolise la transposition. G est aussi une matrice de
Hadamard renormalisée, car le remplacement de 0 par -1 produit la plus petite matrice
de Hadamard normalisée. G est en outre la plus petite matrice contenant le
triangle de Pascal modulo 2NdT donc une matrice de Sierpiðski S. Enfin, G est la représentation exacte de j la racine cubique complexe de 1, en algèbre modulo 2.
2. Si on superpose au géniton un réticule
comme indiqué dans la Fig. 3.1.2, on se rend compte que cette matrice a une
périodicité de 1 dans sa première colonne (ou ligne) et une périodicité de 2
dans sa seconde colonne (ou ligne). Ainsi, il s'agit du plus petit système
périodique concevable. Il permet une croissance périodique par récursion,
c'est-à-dire qu'en remplaçant chaque élément égal à 1 de la matrice par la
matrice elle-même et chaque élément nul par une matrice nulle de même taille,
il en résulte un géniton à l'échelle supérieure, une matrice de dimension 4×4. Cette
propriété de croissance auto-similaire est vraie à toute échelle, pour une
récursion n-uple.
3. En outre, aussi bien en ligne qu'en
colonne, le géniton est totalement corrélé dans sa première colonne (ou ligne)
c'est-à-dire auto-similaire, et non corrélé dans sa seconde colonne (ou ligne),
c'est-à-dire orthogonal, avec le maximum de dissemblance, et oscillatoire.
4. Une structure partiellement pleinement
corrélée et partiellement non corrélée est - en moyenne - semi corrélée,
c'est-à-dire reflète le bruit en 1/f
(bruit rose). La semi-corrélation implique la fractalité et le chaos; ainsi, le
géniton est à la fois un fractal à petite échelle et un système chaotique. Ceci
découle immédiatement de sa propriété sierpiðskienne.
5. Si on se réfère aux sous-figures de 3.1.3
à 3.1.5, le géniton a trois images symétriques. L'image dans un miroir
horizontal, Gh, s'obtient aussi par
une rotation de 90° dans le plan. Ensuite, l'image dans un miroir diagonal Gd s'obtient soit par une rotation de
180° dans le plan, soit en prenant le produit matriciel booléen G¬.^G soit
en prenant l'inverse matriciel booléen de G.
Enfin, l'image dans un miroir vertical Gv,
peut aussi s'obtenir par une rotation de 270° dans le plan. Ainsi, l'image de G dans un miroir diagonal est
équivalente au carré matriciel Gs de
G et à l'inverse matriciel GI de G. Les matrices G et Gd sont des opérateurs de rotation
ternaires, tandis que Gh et Gv sont des opérateurs de symétrie
d'ordre 2. Les premières constituent une condition nécessaire pour la
modélisation de phénomènes de croissance dans l'espace tridimensionnel, alors
que les dernières sont des matrices de transformation, car toutes deux sont des
opérateurs involutifs. Cette évidence est expliquée ci-après.
6. Enfin, si on se rapporte à 3.1.6. dans la
Figure 3.1., la matrice unité GU est
obtenue soit par le produit matriciel booléen (Gs¬.^G)[4] soit par l'élévation matricielle booléenne à
la puissance trois de G selon
(G¬.^G¬.^G)
= GU . Ainsi, à toute échelle, les
génitons et leurs équivalents d'ordre supérieur sont des matrices
auto-similaires dont le carré est l'image dans un miroir diagonalNdT tandis que leur cube est une matrice-unité. En
d'autres termes, l'auto-organisation spontanée à symétrie cubique permet la
modélisation de phénomènes de croissance sur trois axes métriques équivalents,
et la croissance périodique dans le temps et l'espace.
Bien que les théories et les modèles
concernant les fractals et le chaos, ainsi que celles et ceux qui se rapportent
à la computation génétique et cellulaire accordent beaucoup d'importance aux
blocs élémentaires de base, celui-ci - le géniton - a été négligé. Nous avons
vu que cette petite matrice de parité 2x2 contient une fantastique quantité
d'information, même bien plus que ce que nous avons pu mentionner dans les
limites de cet article. L'aspect le plus remarquable, toutefois, est que le
géniton, avec ses retournements multiples de 90°, constitue, avec la
matrice-unité GU et le complément
booléen de celle-ci GU', un groupe à
six membres « G, Gh, Gd, Gv, GU, GU' » de matrices inversibles en algèbre binaire, le résultat d'un
produit quelconque de ces matrices étant un membre du groupe. Ceci signifie que
le géniton G ainsi que ses rotations
sont des opérateurs matriciels spéciaux en algèbre binaire, et, en particulier,
que les opérateurs matriciels Gh et Gv sont les équivalents algébriques
binaires des opérateurs matriciels utilisés pour les transformations de
Fourier, Walsh-Hadamard, et pour la transformation par ondelettes. Nous allons
en discuter plus loin, après la présentation du pariton, que nous allons faire maintenant.
Augmenter la taille du géniton peut se faire
au moins de trois façons. L'une d'entre elles consiste à remplacer chaque
élément (non nul) du géniton par lui-même récursivement. La seconde façon
consisterait à prendre le produit de Kronecker habituel G
Ä G. La troisième
consiste à prendre une séquence primordiale Bn
de longueur l comme argument de la
MRP. Dans tous les cas, le résultat sera une matrice de parité l´l , appelée un pariton P, dans lequel
chaque ligne est l'intégrale de parité de la ligne précédente. Par exemple, si
la séquence primordiale
41
1 0 0 0 est l'argument, la MRP fabrique successivement quatre intégrales
de parité successives. D'abord, [1
0 0 0]1
1 1 1, puis [1
1 1 1]1
0 1 0, puis [1
0 1 0]
1 1 0 0, et finalement [1
1 0 0]1 0 0 0. Le nombre d'itérations est équivalent à la
longueur du vecteur d'entrée, et ce dernier réapparaît comme la dernière
intégrale de parité dans le pariton. Il existe un point délicat sur lequel il
convient d'insister : Chaque ligne du pariton est à la fois le passé et le
futur d'une autre ligne quelconque du pariton. Par exemple, la première ligne
est le futur du vecteur d'entrée et le passé de la seconde ligne. Le processus
itératif complet est semblable à une métamorphose, un changement de forme, de
structure, de substance. Cette évolution successive est intimement connectée à
une série chronologique reflétant des explosions spontanées, comme dans le cas
des potentiels d'action, ou des réductions d'activité spontanées, comme dans le
cas des interactions catalytiques, comme on le montre dans la Section 4.
|
Figure 3.2
Le Pariton
Considérons maintenant la Figure 3.2.1. dans
la Figure 3.2. Elle présente l'ordre
dans lequel le pariton P de la séquence primordiale 1 0 0 0 est engendré, et
prouve que tout ce qui a été annoncé pour le géniton est vrai pour le pariton,
à toute échelle, pour toute séquence primordiale B de longueur l. En
regardant la Figure 3.2.1 de plus près, le lecteur s'apercevra que le dernier
bit de chaque ligne indique la parité de la ligne précédente. Ainsi,
l'intégration de parité vérifie la parité de son argument automatiquement.
Comme le géniton, ce pariton est manifestement une matrice S de Sierpiðski, et
contient le triangle de Pascal modulo 2 de bas en haut. Ainsi, par intégration
de parité, la MRP engendre un automate cellulaire à une dimension, à partir de
toute séquence primordiale de longueur l.
Comme le géniton, ce pariton l×l
est membre d'un groupe de six
membres « P, Ph, Pd, Pv, PU, PU' » de matrices
inversibles. Les opérateurs matriciels Ph
et Pv des Figures 3.2.2 et 3.2.3
résultent de réflexions horizontale et verticale du géniton c'est-à-dire de Gh et Gv. La symétrie d'ordre 2 de ces opérateurs matriciels en fait des
opérateurs involutifs, donc Ph et Pv doivent être aussi des matrices
involutives, c'est-à-dire aussi des matrices de transformation inversibles. Tel
est bien le cas, mais, pour rendre ce fait évident, il est nécessaire de
généraliser le pariton à n'importe quel vecteur binaire fini, et non plus de
considérer simplement des séquences primordiales.
A partir de maintenant, nous supposons que le vecteur d'entrée B de la MRP code une information spécifique, par exemple un symbole, un mot, un bio-signal ou une image, et que la longueur l de B est une puissance de 2. Alors, la MRP fabrique par intégration de parité itérative le pariton correspondant à B. Le pariton obtenu n'est plus un tamis de Sierpiðski régulier, mais une matrice de parité l×l avec une topologie discrète, fractale. Il s'agit réellement d'un noyau assurant le traitement de l'information, avec plein de structure. Pour rendre ceci explicite, prenons un simple exemple en utilisant un "signal" quelconque, la séquence binaire B(1 0 0 1 0 0 1 1), comme entrée pour la MRP. La longueur de ce signal étant l=8, la MRP engendre une matrice 8×8 avec 8 lignes et 8 colonnes. Comme il s'agit d'un système périodique, il doit exister une périodicité spécifique selon les colonnes, et il devrait se trouver une certain "série chronologique" selon les lignes. Ces deux caractéristiques sont uniques pour chaque structure d'entrée, et la topologie fractale du pariton correspondant est aussi unique qu'une empreinte digitale. Chaque vecteur d'entrée aura une périodicité, une histoire et un paysage fractal uniques, indépendamment de sa longueur l. Ces aspects sont importants pour le traitement du signal, comme nous le verrons dans la Section 5. Maintenant, le point principal du processus d'intégration sous-jacent est que ce dernier n'engendre pas seulement une structure, mais des structures dans la structure, qui s'avèrent être des transformées spéciales. Considérons maintenant la Figure 3.3 .
|
Figure 3.3 Le Pariton d'un signal
Les paritons ont naturellement beaucoup plus de
structure que les génitons. Leurs propriétés s'expliquent au mieux en
développant les détails de la Figure 3.3.
1. Chaque ligne de ce pariton particulier est
l'intégrale de parité de la ligne précédente, tandis que le dernier bit
significatif de chaque ligne est la parité de la ligne précédente. Le pariton PB se fabrique de haut en
bas.
2. La MRP engendre deux transformations du
vecteur d'entrée B, en particulier le
cogniton C, représenté par la
dernière colonne de haut en bas, et l'héliçon
H représenté par la deuxième diagonale du pariton, de bas en haut.
3. Les deux transformations ont leurs
correspondances sous-jacentes, à savoir la transformation involutive
k : B
Þ C , appelée la transformation cognitive, et la
transformation associée h : B
Þ H
, appelée la transformation hélicoïdale.
4. La propriété d'involution ci-dessus
signifie que
k(B)ºC
et que k[k(B)]ºB,
de sorte que la transformation cognitive est sa propre inverse. En d'autres
termes, le cogniton du cogniton est le signal original B. La transformation cognitive est en fait l'équivalent algébrique
binaire des transformations de Fourier, Walsh-Hadamard, et de la transformation
par ondelettes; c'est une transformation orthogonale du signal B.
5. Deux manières standard de calculer les transformées
cognitive et hélicoïdale consistent à effectuer, respectivement, les produits
internes booléens généralisés
C
º B ^Ph et
HºB^Pv, où
Ph et
Pv sont les
génitons conformes, les opérateurs matriciels tirés de la Figure 3.2 pour PB.
6. Une manière plus rapide de calculer la transformée cognitive est assurée par la MRP ci-dessous, qui concatène à chaque itération le dernier bit significatif de l'intégrale de parité, la transformée cognitive étant obtenue sans aucune matrice de transformation ("e" étant un élément vide pour initialiser les concaténations).
BnÞ |
Cn+1„e,¯1†Bn+1„¬\Bn |
ÞBn+1 |
Cette transformation est appelée la
transformation cognitive rapide FCTNdT;
c'est un équivalent binaire encore plus élégant de la transformée de Fourier
rapide ou de la transformée de Walsh-Hadamard rapide. Il existe même des
versions encore plus rapides de la transformation, mais nous en discuterons
ailleurs (Langlet 1994, Zaus 1995).
7. Le pariton se qualifie pour le calcul neuronal en raison des propriétés suivantes : (1) il représente un noyau auto-organisé traitant l'information; (2) il est, colonne après colonne, de gauche à droite, une structure mémorielle de plus en plus différenciée, parce que chaque colonne excepté la dernière - le cogniton - représente un anté-cogniton d'ordre l tel que, de gauche à droite, chaque colonne représente une transformée cognitive qui se différencie pas à pas; (3) l'information du signal est répartie dans la topologie fractale du pariton de telle sorte qu'une information partielle peut être reconstituée à partir de n'importe quel anté-cogniton; (4) le signal entier B peut être reconstitué à partir du cogniton, la mémoire principale du pariton; (5) la structure entière du pariton peut être reconstituée à partir du cogniton par la MRP suivante :
CnÞ |
Cn+1„e,Cn¬¯1²Cn |
ÞCn+1 |
où l'algorithme se traduit aisément par
“Pratiquer une permutation circulaire (²) du cogniton C d'un bit, puis appliquer XOR () entre ce résultat et le cogniton, sauver le résultat
Cn+1,
puis utiliser ce dernier résultat comme l'entrée Cn du cycle suivant; répéter cela l fois selon la longueur de C.”
Cette reconstruction fonctionne aussi partiellement en considérant n'importe
quel anté-cogniton du pariton; (6) la
reconstructibilité partielle ou totale décrite ci-dessus montre que la pariton
est une structure de mémoire semi-holographique, comme il en est question dans
la théorie des réseaux de neurones (Pao, 1989).
8. Un aspect final à propos du pariton est
qu'il se qualifie comme modèle des engrammes dans les milieux excitables et les
réseaux neuronaux. Les travaux de Semon (1909) et de Russell (1921) sont d'un
intérêt très spécial sous ce rapport. Citons Russell (1921, P. 88) : “Quand un
organisme, soit un animal soit une plante, est soumis à un stimulus, ce qui
produit un certain état d'excitation, le retrait de ce stimulus lui permet de
retourner à une condition d'équilibre. Mais le nouvel état d'équilibre est
différent de l'ancien, comme on peut le voir dans la faculté de réaction.
L'état d'équilibre avant le stimulus peut être appelé "l'état primaire
d'indifférence", et celui après la cessation du stimulus "l'état
secondaire d'indifférence". Nous définissons "l'effet engraphique"
d'un stimulus comme l'effet de provoquer une différence entre les états
d'indifférences primaire et secondaire, et cette différence elle-même est
définie comme "l'engramme" dû au stimulus.” En ce qui concerne cette
caractérisation, le pariton est assurément un modèle de l'engramme. Cette
conclusion sera traitée ailleurs.
Cela peut constituer une surprise pour le
lecteur qu'autant de propriétés fondamentales puissent être extraites d'une
matrice de parité apparemment "innocente" comme celle de la figure
3.3; pourtant, nous n'en sommes pas encore au bout, et ce pour la raison
suivante : Si nous considérons à nouveau la figure 3.3, nous reconnaissons une
zone ombrée le long de la deuxième diagonale, l'héliçon, puis le long de la
dernière colonne, le cogniton, et finalement le long de la dernière ligne, le
signal ou vecteur d'entrée réapparu. Cette structure triangulaire est cachée
dans le pariton, mais elle constitue un modèle de calcul émergeant, appelé le fanion (Langlet 1993, 1994; Zaus 1995).
Il jouera un rôle central dans la Section 5 au niveau du calcul neuronal et de
la modélisation rétinienne. Nous nous restreignons ici aux idées de base.
Considérons maintenant la MRP de la figure 3.4 :
|
Figure 3.4
Le Fanion
En ce qui concerne l'entrée, nous utilisons
le même vecteur d'entrée qu'auparavant. Cela rend plus facile la comparaison
entre les deux modèles, le pariton et le fanion. La principale différence est
la suivante : Au lieu de prendre l'intégrale de parité le long de chaque
séquence binaire engendrée, l'opérateur
est remplacé par la prise de différences de parité par paires le long de chaque
séquence binaire engendrée, mais dont la taille diminue à chaque foisNdT. Le signal B dans la Figure 3.4 se propage d'abord
de droite à gauche, puis de haut en bas, et, alors, le milieu excitable évolue
en une structure auto-organisée. Ici, l'héliçon H apparaît du côté gauche, tandis que le cogniton C émerge du côté droit.
Décortiquons la Figure 3.4 pour expliquer
plus de détails à propos de la structure interne du fanion :
1. Remarquer que la structure trigonale
(triangulaire) est décomposable en triangles plus petits et en hexagones :
ŒŒŒŒ
ŒŒŒ
ŒŒ
Œ |
ŒŒ
Œ |
ŒŒ
ŒŒŒ
ŒŒ |
2. En regardant de plus près le triangle en
haut à gauche de la figure 3.4, on reconnaît que la position inférieure
contient la parité des deux positions du dessus. En "balayant" le
motif triangulaire bit à bit de gauche à droite, on s'aperçoit que cela est
vrai pour l'ensemble de la structure.
0 1 3.
1 1 0
0 1 |
Ensuite, si nous extrayons l'hexagone au
centre de la Figure 3.4, il devient alors évident que la parité de la cellule
centrale (ici 1) est déterminée par les deux éléments au-dessus, par les deux
éléments en bas à gauche, et aussi par les deux éléments en bas à droite de
l'hexagone. De même, en balayant toutes les structures hexagonales le long
des trois directions du fanion, il s'avère que cette propriété est vraie dans
toute la structure, elle aussi. |
4. En nous reportant à nouveau à la figure
3.4 et en commençant à la deuxième ligne, chaque parité de la cellule est
déterminée par les deux voisins les plus proches situés au-dessus. Ceci est
vrai en descendant jusqu'à la dernière cellule en bas. Maintenant, si nous
tournons la structure de 120° dans le sens des aiguilles d'une montre,
l'héliçon H vient se placer en
position horizontale en haut. Alors, la parité de chaque cellule est encore
déterminée par les deux voisins les plus proches au-dessus. Une nouvelle rotation de 120° amène le
cogniton C sur le dessus, et les
mêmes relations sont encore valables. Finalement, une troisième rotation
reproduit la forme originale telle qu'elle est affichée sur la Figure 3.4 .
5. Ainsi, contrairement aux transformations
orthogonales, le fanion implique une transformation trigonale du signal traité.
La propriété-clé de la transformation trigonale est la suivante : Avec trois rotations
de 120°, le signal est transformé d'abord en héliçon H, puis en cogniton C, et
finalement en lui-même, mais la structure dans son ensemble, c'est-à-dire la
topologie du fanion, le motif des excitations du milieu excitable sous-jacent,
demeure invariante. La même chose
vaut pour des rotations en sens contraire, de 120°.
Le fanion est manifestement un processeur de
données isentropique, résistant à l'erreur, cyclique, non gödélien et
réversible, avec un nombre de caractéristiques encore inexploitées pour
modéliser le traitement de l'information dans des milieux excitables. Nous
reviendrons sur cette intrigante structure à la Section 5 pour discuter de son
impact sur la modélisation rétinienne digitale.
Nous espérons que l'approche précédente via
la machine à rétro-action de parité a constitué une toile de fond adéquate pour
ces modèles comme le géniton, le pariton et le fanion. Les MRP devraient aider
à unifier la modélisation scientifique à partir de zéro, car ici, aucune
hypothèse ad hoc n'est admise[5].
En somme, il s'agit seulement du début d'un nouveau type de modèles pour
le traitement de l'information. Nous avons exclu les machines à rétro-action de
parité à n étapes, qui engendrent des processus de croissance, comme on en
trouve en génétique, en neuro-génétique et en neuro-biologie. Il est beaucoup
plus difficile de les implanterNdT avec succès que les MRP plus élémentaires
décrites ici. Nous nous intéresserons aux "grosses" machines lorsque
nous aurons acquis suffisamment d'expérience avec les "petites", et
cela demandera encore beaucoup de travail, comme nous le verrons dans les
sections suivantes.
Nous avons aussi exclu les fantastiques
propriétés du géniton, du pariton et du fanion en physique. Sous ce rapport, le
lecteur pourra se référer à Langlet (1994a,b). Finalement, un jeu de programmes
pour l'assemblage des MRP est actuellement en préparation (Zaus 1995a).
4 Milieux Excitables et Paritons
Au vu des résultats techniques obtenus dans
les Sections précédentes, nous abordons maintenant la question de savoir si la
logique de la parité peut offrir des modèles qui expliquent les observations
expérimentales, en fournissant des descriptions assez compactes de phénomènes
hautement complexes. On peut répondre à cette question par l'affirmative pour
la formation de structure dans les milieux excitables. Comme indiqué par
Langlet (1991, 1994) et Lüneburg (1994), les milieux excitables abondent dans
la nature. Ils concernent des phénomènes aussi divers que l'infection de
blessures, la carcinomatose, les motifs de pigmentation des peaux de vertébrés,
l'apparition des émotions, les réponses galvaniques cutanées, les
enregistrements d'EEG, les tremblements de terre, les crues et les feux de
forêt, les rythmes circadiens en physiologie, ainsi que de nombreux autres
phénomènes réactionnels de diffusion, d'agrégation et de propagation. En
général, il existe trois caractéristiques pour les milieux excitables. La
première est leur faculté de recevoir et de distribuer des excitations. La
seconde est qu'ils présentent un comportement en loi exponentielle
f- avec
» 1 dans leur
spectre de basse fréquence, d'où le bruit rose[6].
Et la troisième caractéristique est celle des fronts d'onde formés par la
propagation de différences entre les états élémentaires, qui bouleverse les
états dans leur stabilité minimale en créant de nouvelles structures.
Considérez maintenant la Figure 4.1. Elle
montre, sur sa droite un pariton régulier engendré par la MRP la plus simple,
par intégration de parité itérée à partir de la séquence primordiale
321
avec un bit de tête égal à 1 et 31 bits à 0. Nous savons, depuis la Section 3,
qu'il s'agit d'un géniton à échelle plus grande, c'est-à-dire une structure
symétrique, périodique, auto-similaire, et, en moyenne semi-corrélée.
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Figure 4.1 Le Pariton et sa
Série Chronologique
Nous savons aussi, depuis la Section 3, qu'il
équivaut à un crible de Sierpiðski et à un triangle de Pascal modulo 2. Le côté
gauche de la Figure 4.1. montre l'histogramme d'un enregistrement d'activité
moléculaire, biophysique, chimique ou neuro-physiologique. Regardons-en les
détails en prenant en considération les travaux fondamentaux de Dress et al.
(1985) et Lüneburg (1994).
Dans les expériences de Dress et al. (1985)
concernant les processus de conversion catalytique, un flux de monoxyde de
carbone était envoyé vers le haut à travers un assemblage d'agents
catalytiques. Au lieu d'un processus d'oxydation continu, par lequel les
catalyseurs oxydent le monoxyde de carbone en dioxyde de carbone à taux
constant, ils ont découvert des motifs complexes et curieusement spontanés de
réduction d'activité, au cours de leurs mesures. Afin de donner une explication
à ce processus apparemment fractal, ils décidèrent de le modéliser en première
approximation par un automate cellulaire monodimensionnel, appelé la machine de parité de Pascal. Le résultat
est reproduit sur la Figure 4.2, dans laquelle le diagramme de la partie
supérieure montre le taux de réaction chimique en fonction du temps, tandis que
la partie inférieure montre pour 0
£ n
£ 120, le nombre
C(n) de coefficients du binome
(Ckn) modulo 2 avec une parité
1, c'est-à-dire les coefficients impairs.
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Figure 4.2 Séries Chronologiques d'Activité[7]
L'idée d'utiliser une machine à parité de
Pascal pour un automate cellulaire monodimensionnel est basée sur l'hypothèse
qu'un catalyseur, représenté par une case en position n, s'oxyde au temps t si
précisément l'un de ses plus proches voisins dans les positions n et n-1
était oxydé au temps t-1. Ainsi, en
commençant avec exactement un seul élément non nul, l'automate cellulaire
évolue selon la règle que l'état d'une case au temps t+1 est définissable comme la somme de son propre état et de celui
de son voisin du dessous au temps t.
Maintenant, en regardant la Figure 4.1, il devient évident que ce processus est
modélisé de bas en haut par l'intégration de parité à elle toute seule.
L'approche numérique ft(n)=ft-1(n)+ft-1(n-1) mod
2 qui engendre le triangle de Pascal modulo 2 est remplacée par un seul
opérateur, à savoir B„l1, où l'argument
est une séquence primordiale de longueur l.
La série chronologique de la Fig. 4.1 est basée sur la séquence
32†1, tandis que celle de la Figure 4.2 (diagramme
du bas) est basée sur la séquence
128†1.
Les enregistrements de l'activité dans les
deux figures visualisent, dans ce contexte, la réduction d'activité spontanée.
Dans la Figure 4.1, chaque point noir
représente un état passif (1) et chaque point
blanc un état actif (0). La somme des états passifs pour chaque ligne, de
haut en bas, révèle l'histogramme, c'est-à-dire la série chronologique du
processus modélisé. La ressemblance surprenante entre l'enregistrement
d'activité chimique et l'histogramme de Pascal c'est-à-dire de la parité dans
la Figure 4.2 fait surgir la question de savoir si cette approche de
modélisation est justifiable par le critére d'absence d'empirisme. A ce propos,
nous pouvons citer le point de vue de Lüneburg, à cause de sa clarté,
concernant le processus sous-jacent :
“En dessous d'un certain seuil de
température, chaque catalyseur isolé oscille périodiquement entre son état
actif et son état passif, alors qu'au dessus de ce seuil, il présente une
bi-stabilité. La bi-stabilité signifie qu'il reste actif s'il est actif, et
passif s'il est passif. En outre, nous pouvons supposer que l'activité d'un
catalyseur agmente la température au-dessus de lui de sorte que celui du dessus
va rester ou devenir bi-stable, préservant ainsi son état d'activité ou de
passivité respectivement. Au contraire, la passivité peut refroidir le
catalyseur juste au-dessus - ainsi, dans ce cas, celui-ci demeure ou devient
oscillant et commence immédiatement à modifier son activité. Si vous regardez
ces règles de plus près, vous vous apercevez que vous pouvez oublier la
bi-stabilité ainsi que les oscillations, puisque seules l'activité et la
passivité ont vraiment de l'importance pour décider comment le processus va continuer
à évoluer. En bref, supposez deux catalyseurs situés l'un au-dessus de l'autre.
Alors, le catalyseur supérieur sera actif après le prochain pas si et seulement
si lui et son voisin inférieur sont tous deux passifs ou tous deux actifs. Si
vous identifiez actif à 0 et passif à 1, ceci coïncide avec l'effet de
l'addition modulo 2. D'où la règle de catalyse qui correspond précisément aux
règles de l'automate de parité de Pascal. Ainsi, le modèle expliquerait les
observations expérimentales et fournirait une description assez simple d'un
phénomène qui, autrement, apparaît hautement complexe.” (Lüneburg 1994, p. 267)
Il est important d'insister sur l'essence
même de cette citation : “... seules
l'activité et la passivité ont vraiment de l'importance pour décider comment le
processus va continuer à évoluer”. Telle est exactement la philosophie
fondamentale de la modélisation des milieux excitables par des paritons, car
seuls les états contravalents sont décisifs pour propager des fronts d'onde
dans des milieux excitables. Il devrait être évident que ceci ne peut être
assuré exclusivement par le pariton régulier reproduit sur la Figure 4.1; il en
est de même pour des automates de Pascal à 1 ou 2 dimensions. Mais on doit
garder présent à l'esprit que les paritons sont bien plus généraux que le
triangle de Pascal modulo 2. Ceci est dépeint dans la Figure 4.3 ci-après. En
étudiant clairement les détails, le lecteur reconnaîtra que chaque "parcours" du nord-ouest au sud ou du nord-ouest à l'est puis au sud, ou du nord-ouest au sud-est et ensuite vers le sud,
rassemble, en un seul coup d'œil, la nature canonique de la logique de la
parité. La Figure 4.3 décrit la Section 3 relative au pariton, et souligne le
fait que le pariton régulier (géniton) est l'équivalent binaire de l'invariant
de la transformation de Fourier, à savoir la distribution normale standard de
Gauss.
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Figure 4.3NdT La logique de la parité en un clin d'œil[8]
La logique que l'on découvre par le parcours central
de la Figure 4.3 est simple et judicieuse. Le pariton est l'équivalent du tamis
ou crible de Sierpiðski qui à son tour équivaut au triangle de Pascal modulo 2.
Ce dernier est l'équivalent binaire du triangle de Pascal qui à son tour est la
base de la distribution binomiale dont l'enveloppe est le graphe de la
distribution normale de Gauss. Ainsi, le pariton nP d'ordre n et ses
images dans un miroir vertical ou horizontal (nPv, nPh) sont - à toute
échelle - les opérateurs de transformation orthogonale en algèbre binaire ou
modulo 2, et, ainsi, les équivalents binaires des transformations de Fourier,
de Walsh-Hadamard et des ondelettes. Le point crucial est que ces dernières
transformations jouent un rôle central dans la modélisation et l'analyse des milieux
excitables, et que l'on peut les comprimer considérablement par le biais de la
transformation cognitive introduite dans la Section 3. Un autre aspect en vue
de la modélisation des milieux excitables concerne l'existence de transformées
trigonales au lieu des transformées orthogonales ci-dessus. Ceci est le sujet
de notre Section suivante. De toute manière, les directions de recherche
mentionnées dans cette Section encouragent à approfondir plus avant la logique
de la parité, théorique et appliquée. Mais cela prend certainement plus que
deux individusNdT pour mener à bien ce travail.
5 Vers la modélisation rétinienne à l'aide des
fanions
Dans cette Section, nous faisons ressortir
une seconde perspective d'orientation vers des applications de l'intégration de
parité, corrélée au modèle du fanion
de la Section 3, Figure 3.4, concernant la modélisation de la rétine dans des
projets de réseaux digitaux/résistifs. Nous montrons que la topologie du fanion
coïncide avec celle des réseaux résistifs et offre une perspective
informationnelle nouvelle pour le calcul neuronal en termes d'algorithmes de
vision et de traitement digital. L'objectif principal est de montrer comment
des signaux se trouvent traités par le fanion et comment la structure d'un
signal organise la topologie du fanion par des fronts d'onde propagés, d'une
manière unique. Sous ce rapport, le fanion sert de première approximation pour
des modèles rétiniens digitaux. Nous n'avons pas l'intention de mettre en
opposition les avantages et les inconvénients entre les réseaux analogiques et
les réseaux digitaux dans ce contexte. C'est tout à fait le contraire, car les
réseaux résistifs vont nous aider à comprendre le traitement du signal dans des
réseaux triangulaires de cellules avec des sous-structures coopératives.
Notre point de départ est un réseau normalisé
en technologie d'implantation VLSI, où le réseau est modélisé par un réseau
résistif discret bidimensionnel, disposé de manière régulière par
interconnexion des voisins les plus proches.
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Figure 5.1 Topologie des Réseaux Résistifs
La représentation du réseau sur la Figure 5.1
illustre le type préféré pour les applications bidimensionnelles, à cause de sa
symétrie maximale et de sa haute redondance (Mead 1989, Schempp 1993). Le
modèle rétinien est constitué ici par un couplage des voisins les plus proches.
Chaque nœud est connecté à ses voisins par une résistance R, et chaque nœud est connecté à la terre qui agit comme référence,
par l'intermédiaire d'une conductance G.
En technologie du silicium, cette topologie de réseau modélise la couche de
photo-récepteurs, la couche "plexiforme" extérieure de cellules qui
sont situées juste en dessous des photo-récepteurs, et la couche de cellules
bipolaires de la rétine des vertébrés. En dépit des son abstraction par rapport
à l'analogue biologique immensément plus compliqué, elle produit des résultats
tout à fait semblables à ceux obtenus à partir de systèmes biologiques. Pour
révéler sa structure interne d'une manière plus explicite, il est utile de
montrer d'abord sa structure hexagonale, puisque cette dernière est duale de sa
structure globale triangulaire.
La Figure 5.2 en donne l'illustration en
montrant quatre hexagones concentriques assemblés en réseau résistif
triangulaire. Chaque hexagone contient - indépendamment de sa dimension - six
triangles équilatéraux, ou deux paires de trois triangles équilatéraux disposés
comme deux structures trigonales alternées autour du centre de chaque hexagone,
comme indiqué par les structures noires et blanches en forme de ventilateur (!)
NdT au centre de la Figure 5.2.
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Figure 5.2 Réseaux concentriques hexagonaux
Considérons maintenant la Figure 5.3 . En regardant
de plus près la topologie des réseaux résistifs, il apparaît que leur structure
hexagonale contient de manière duale deux réseaux trigonaux concentriques (l'un
ombré et l'autre non dans la Figure 5.3).
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Figure 5.3 Réseaux concentriques trigonaux
La structure des deux réseaux coïncide
précisément avec une rotation ternaire de 120° du fanion introduite dans la
Section 3. Maintenant, l'image rétinienne d'une scène visuelle se compose d'une
distribution continue bidimensionnelle de niveaux de gris, alors qu'une puce
rétinienne de réseau résistif se compose d'un tableau de pixels, et d'un
dispositif de balayage pour lire les résultats du calcul rétinien. La sortie de
tout pixel est accessible par un scanner avec un registre de balayage
horizontal et vertical le long des côtés de la puce. Chaque position du
registre de balayage a un registre de décalageNdT de 1 bit et des circuits associés de sélection
du signal. La principal tableau de pixels se compose de rangées alternées de
pavés réctangulaires disposés pour former un motif hexagonal. Le scanner,
le long du côté vertical, accède à n'importe quelle rangée de pixels, tandis
que le scanner le long du côté horizontal guide le courant de sortie, de
n'importe quel pixel choisi, sur la ligne de sortie de manière à ce que ce
courant soit perçu par l'amplificateur extérieur senseur de courant (Mead 1989,
Schempp 1993).
Si, maintenant, nous établissons une digression
depuis les réseaux résistifs en considérant le fanion, sous sa forme tournée,
comme un modèle cellulaire d'états excitables "On" et "Off",
nous obtenons les résultats suivants pour le traitement de l'information dans
ce réseau. Considérez d'abord la Figure 5.4 ci-dessous :
|
Figure 5.4 Le Réseau du Fanion
1. Chaque cellule de haut en bas correspond à
un pixel, dont l'état "On"
est noir c'est-à-dire 1, tandis que
son état "Off" correspond à
clair c'est-à-dire 0. Comme dans
le cas des réseaux résistifs, la disposition des pixels est décalée de rangée
en rangée d'un intervalle de 1/2 pixel.
2. Le fanion constitue ainsi un réseau
ternaire de neuro-bits d'éléments excitables. Le motif d'excitation dépend seulement
de la structure du signal et de son front d'onde propagé, modélisé par
intégration de parité itérée par couples
(B). Cette dernière réalise un processus
de balayage auto-organisé dont le résultat est la formation d'un motif
auto-organisé sur le milieu excitable sous-jacent.
3. Chaque signal propagé par le fanion se
traduit par la formation d'un motif unique avec des propriétés de compression
de l'information. Les signaux aléatoires ou apériodiques induisent un motif
d'excitation correspondant irrégulier dans le fanion, à cause de leur
incompressibilité. Cela produit un motif apparemment chaotique, et
l'apériodicité est reflétée à la fois dans la transformée hélicoïdale (H) et dans la transformée cognitive (C) (pas de compression).
4. Les signaux avec des structures
redondantes, répétitives ou palindromiques apparaissent comprimés dans
l'héliçon H et le cogniton C, c'est-à-dire que les deux
transformées, l'hélicoïdale et la cognitive, compriment l'information. Toute
redondance, périodicité ou symétrie interne du signal B engendre dans le fanion un motif d'excitation dilué. L'entropie
du signal est préservée en vertu de la propriété de conservation de l'entropie
du processus d'intégration et de propagation. Remarquer qu'une propagation
asymétrique de différences symétriques est un processus préservant l'entropie
en vertu de la loi de bisymétrie (a°b)°(c°d)
º (a°c)°(b°d)
.
5. Si nous interprétons la topologie des
états excités du fanion comme un motif visuel émergeant du signal B, alors la transformée cognitive C de B
représente ce motif sous forme comprimée d'une part, et permet de retransformer
le motif à cause de sa propriété de la transformation d'être auto-inverse,
d'autre part. Cette conclusion mérite un examen plus approfondi dans des
modèles spécifiques de traitement rétinien de l'information.
6. Mathématiquement, le fanion (partie
supérieure de la Figure 5.4) est un opérateur matriciel ternaire ou trigonal.
Une rotation de 120° transforme le fanion de B en fanion de H (partie
inférieure droite de la Figure 5.4). Une autre rotation de 120° transforme ce
dernier en fanion de C (partie
inférieure gauche de la Figure 5.4), et une troisième rotation retransforme ce
dernier en fanion du signal original B.
A chaque transformation, la topologie des éléments excités, c'est-à-dire
les états "On" et "Off", demeure invariante.
7. En termes d'algèbre modulo 2, la seconde
rangée de chaque arrangement trigonal dans la Figure 5.4 est la dérivée
(différentielle booléenne) de la première rangée; alors, la première rangée est
l'intégrale discrète de la seconde rangée. Cette propriété est vraie pour
chaque rotation successive, dans un sens ou dans l'autre, de la structure du
haut de la Figure 5.4, par suite de la symétrie ternaire de la structure.
On insistera sur le fait que le fanion, aussi
bien que le pariton généralisé (qui contient implicitement le fanion) sont les points de départ de la modélisation
d'une rétine artificielle comme milieu excitable avec des topologies
triangulaires ou hexagonales. Le lecteur est prié de se référer à Langlet
(1993, 1994a), Mead (1989), Resnikoff (1989) et Schemp (1993) pour plus de
détails à ce propos. Il y a encore un dernier point qui doit être
mentionné pour pousser plus avant les études concernant les milieux excitables
à l'aide de la logique de la parité. Un pariton ou un fanion à une échelle
suffisamment grande convient, dans tous les cas, comme modèle du traitement
complexe et auto-organisé de l'information. Que sa structure se rapporte aux champs de courants de Köhler, aux clusters d'excitation de Horridge, aux champs à portes dipolaires de Grossberg,
ou aux spins d'Ising de Hopfield,
tout ce qui compte revient à considérer des différences
entre états élémentaires, donc des parités.
Remerciements
Ce travail a été soutenu par la Fondation
Allemande pour la Recherche (DFG) et par le Groupe de Recherche
Interdisciplinaire sur les Sciences Cognitives des universités de Brême et
d'Oldenburg. Je suis fort redevable au Prof.Dr. Eckart Scheerer pour le soutien
à cette étude, ainsi qu'au Dr. Gérard A. Langlet pour ses suggestions, ses
commentaires critiques à propos des travaux précédents de l'auteur sur le
sujet, et pour ses encouragements à poursuivre des études plus poussées dans ce
domaine.
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** Li, M. & Vitanyi, P. 1993. An Introduction
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[1]Pour des revues explicatives
et condensées, voir Langlet (1992, 1994), ou Zaus (1994a,b).
NdlR Ceci concerne, en clair, la reconnaissance des contours; en Théorie des Graphes, il s'agit de résoudre le célèbre problème du Voyageur de Commerce, mathématiquement NP-complet, car il n'existe pas de solution polynomiale (ni de méthode mathématique absolue).
[2]Voir, en particulier, Peitgen et al. (1992) ou Kaandorp (1994).
NdT Le mot original est "emulates",
mais le verbe "émuler" n'a jamais existé en français.
NdT en français et en mathématiques, on parle aussi d'une fonctionnelle pour une fonction-opérateur agissant sur une fonction.
[3] Noter que la première composante b1 Î R, est toujours égale à la première composante b1 Î B, ce qui est habituel en mathématiques concernant les cumuls, ou les sommes partielles comme dans la Définition (3) ci-dessus.
NdT en anglais"number crunching".
NdT en anglais, l'auteur utilise l'acronyme PFM pour "Parity Feedback Machines".
NdT mais aussi non modulo 2.
[4] le produit matriciel booléen x¬.^y est l'équivalent binaire de x+.×y , le produit scalaire habituel Sxy . Nous avons adopté la notation utilisant le point x f.g y , où f et g sont des opérations binaires, du langage de programmation APL, à cause de sa clarté pour traiter les produits internes généralisés.
NdT La symétrie diagonale est vraie lorsque la dimension est une puissance de 2. Dans le cas général, la symétrie mise en jeu est une symétrie par rapport à un point virtuel situé au centre de la matrice.
NdT en anglais "Fast Cognitive Transform"
NdT Il s'agit en fait de l'opération inverse de l'intégration binaire; à savoir la dérivation ou différenciation binaire (prise de différences booléennes ou modulo 2 successives, que l’on pourrait noter ¬\-1). On peut aussi considérer qu'il s'agit d'appliquer ¬/ sur chaque paire successive. Voir l’article de G. Langlet, immédiatement après celui-ci : « Des Fanions à la transformée cognitive numérique ».
[5]Le lecteur devrait remarquer que les modèles courants actuels de réseaux de neurones ou d'algorithmes génétiques sont truffés d'hypothèses ad hoc, provenant à la fois d'un point de vue mathématique et d'un point de vue conceptuel. Dans l'approche adoptée ici, il y a peu de place pour le "ad hoc", la modélisation est essentiellement guidée par le rasoir d'Ockham : "Il est vain d'essayer avec plus que ce qui peut être fait avec moins."
NdT Terme préféré à "implémenter", franglais.
[6] bruit en 1/f, parasites, fluctuations semi-corrélées, bruit fractal. (NdT. Voir, à ce sujet les explications données dans Les Nouvelles d'APL N° 14, pp.103-108).
[7] Reproduit d'après Lüneburg (1994), p.267. Voir aussi Schroeder (1993) chapitre 17, pour une dicussion du travail de Dress et al. concernant les automates cellulaires.
NdT Vu la petitesse des caractères, le lecteur est prié d’excuser l'absence de traduction pour cette figure.
[8]Pour plus de détails, voir en particulier Langlet (1992, 1994, 1994a) et Zaus (1994a,b).
NdT En anglais “two for tango”, guillemets compris.
NdT "Fan" signifie, entre autres, "ventilateur" en anglais.
NdT "Shift-register".